math solver

Solver scheme

- See part “3 Fully discrete approximation” in Lecture 3 - Finite Volume Discretization of the Heat Equation

• Linear system (matrix) formulation:

\frac{\partial T}{\partial t} = A \times T + S(t)

Time discretization using theta-method (time step k): \frac{\partial T}{\partial t} = f(t,\, T)

\frac{T^{k+1}-T^k}{dt} \approx \theta\, f(t^{k+1},\, T^{k+1}) + (1-\theta)\, f(t^{k},\, T^{k})

where \theta is a constant chosen between 0 and 1.

\begin{aligned} T^{k+1} - T^{k} &= \theta\, dt \left[ A \, T^{k+1} + S^{k+1} \right] + (1-\theta)\, dt \left[ A \, T^{k} + S^{k} \right] \\ \left[ I - \theta\, dt\, A \right] T^{k+1} &= \theta\, dt \, S^{k+1} + (1-\theta)\, dt \left[ A \, T^{k} + S^{k} \right] + T^k \\ \left[ I - \theta\, dt\, A \right] T^{k+1} &= \left[I + (1-\theta)\, dt \,A \right] T^{k} + \left( \theta \, S^{k+1} + (1-\theta)\, S^{k} \right) dt \end{aligned}

T^{k+1} is solved for using the backslash operator

• \theta = 0 : Forward Euler (explicit, 1st order)
• \theta = 1/2 : Crank–Nicolson (implicit, 2nd order)
• \theta = 1 : Backward Euler (implicit, 1st order),

“Remark 2: The Crank-Nicolson scheme is second order accurate but gives slowly decaying oscillations for large eigenvalues. It is unsuitable for parabolic problems with rapidly decayingtransients. The \theta=1 scheme damps all components, and should be used in the initial steps.” from http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/DN2255/ndiff13/Lecture3.pdf)

• If \theta = 1/2, noting h=dt/2: $$ T^{k+1} = T^{k}
• ( S^{k+1} + S^{k} ) h $$ # simu thermique

code Python (& Julia) de simulation thermique dynamique (du bâtiment)

🡺 lien vers la documentation

Blocs

• Accès aux données météo (API Weather data)
  • darksky
  • donnée climat de la RT2012
• Récupération des mesures de température (data logger)
  • emonCMS
• Calcul du flux solaire
  • librairie python pvlib
• Définition et calcul du modèle thermique
• Estimation des paramètres du modèle

Modèle thermique dynamique

Le modèle est l’équivalent d’un circuit électrique de résistances et condensateurs.

Système d’équations différentielles linéaires:

M dT/dt = K × T(t) + S(t)

avec T le vecteur de température des noeuds du réseau, M les masses thermiques, K la matrice de connections entre les noeuds (conduction & convection) et S les termes extérieures (sources).

Reférences et liens